有限数学示例

$\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x} = 81^{x^{2} - 2}$

解题步骤 1

取方程两边的对数。

$\ln (\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

解题步骤 2

将 $\ln (\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x})$ 重写为 $\ln (\frac{1}{27^{2 x}}) + \ln (3^{- 2 x})$ 。

$\ln (\frac{1}{27^{2 x}}) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

解题步骤 3

将 $\ln (\frac{1}{27^{2 x}})$ 重写为 $\ln (1) - \ln (27^{2 x})$ 。

$\ln (1) - \ln (27^{2 x}) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

解题步骤 4

通过将 $2 x$ 移到对数外来展开 $\ln (27^{2 x})$ 。

$\ln (1) - (2 x \ln (27)) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

解题步骤 5

通过将 $- 2 x$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{- 2 x})$ 。

$\ln (1) - (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

解题步骤 6

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$0 - (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

解题步骤 7

从 $0$ 中减去 $2 x \ln (27)$ 。

$- (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

解题步骤 8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 (x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

解题步骤 9

去掉圆括号。

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

解题步骤 10

通过将 $x^{2} - 2$ 移到对数外来展开 $\ln (81^{x^{2} - 2})$ 。

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = (x^{2} - 2) \ln (81)$

解题步骤 11

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

解题步骤 11.2

化简左边。

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解题步骤 11.2.1

化简 $- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3)$ 。

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解题步骤 11.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (27)$ 。

$x (- \ln (27^{2})) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

解题步骤 11.2.1.1.2

对 $27$ 进行 $2$ 次方运算。

$x (- \ln (729)) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

解题步骤 11.2.1.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (3)$ 。

$x (- \ln (729)) + x (- \ln (3^{2})) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

解题步骤 11.2.1.1.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x (- \ln (729)) + x (- \ln (9)) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

解题步骤 11.2.1.2

将 $x (- \ln (729)) + x (- \ln (9))$ 中的因式重新排序。

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

解题步骤 11.3

化简右边。

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解题步骤 11.3.1

化简每一项。

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解题步骤 11.3.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (81)$ 。

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - \ln (81^{2})$

解题步骤 11.3.1.2

对 $81$ 进行 $2$ 次方运算。

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - \ln (6561)$

解题步骤 11.4

将所有包含对数的项移到等式左边。

$- x \ln (729) - x \ln (9) - x^{2} \ln (81) + \ln (6561) = 0$

解题步骤 11.5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 11.6

将 $a = - \ln (81)$ 、 $b = - \ln (729) - \ln (9)$ 和 $c = \ln (6561)$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- (- \ln (729) - \ln (9)) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- \ln (81) \cdot \ln (6561))}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7

化简。

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解题步骤 11.7.1

化简分子。

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解题步骤 11.7.1.1

运用分配律。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.2

乘以 $- - \ln (729)$ 。

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解题步骤 11.7.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{1 \ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.2.2

将 $\ln (729)$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.3

乘以 $- - \ln (9)$ 。

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解题步骤 11.7.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{\ln (729) + 1 \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.3.2

将 $\ln (9)$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.4

将 ${(- \ln (729) - \ln (9))}^{2}$ 重写为 $(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9))$ 。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9))$ 。

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解题步骤 11.7.1.5.1

运用分配律。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729) - \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.5.2

运用分配律。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.5.3

运用分配律。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 11.7.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 11.7.1.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 \ln (729) \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.6.1.2

通过指数相加将 $\ln (729)$ 乘以 $\ln (729)$ 。

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解题步骤 11.7.1.6.1.2.1

移动 $\ln (729)$ 。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (\ln (729) \ln (729))) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.6.1.2.2

将 $\ln (729)$ 乘以 $\ln (729)$ 。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 \ln^{2} (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{1 \ln^{2} (729) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.6.1.4

将 $\ln^{2} (729)$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.6.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 1 \cdot (- 1 \ln (729) \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.6.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 1 \ln (729) \ln (9) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.6.1.7

将 $\ln (729)$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.6.1.8

使用乘法的交换性质重写。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) - 1 \cdot (- 1 \ln (9) \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.6.1.9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + 1 \ln (9) \ln (729) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.6.1.10

将 $\ln (9)$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.6.1.11

使用乘法的交换性质重写。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 \ln (9) \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.6.1.12

通过指数相加将 $\ln (9)$ 乘以 $\ln (9)$ 。

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解题步骤 11.7.1.6.1.12.1

移动 $\ln (9)$ 。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 (\ln (9) \ln (9))) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.6.1.12.2

将 $\ln (9)$ 乘以 $\ln (9)$ 。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 \ln^{2} (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.6.1.13

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) + 1 \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.6.1.14

将 $\ln^{2} (9)$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.6.2

将 $\ln (729) \ln (9)$ 和 $\ln (9) \ln (729)$ 相加。

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解题步骤 11.7.1.6.2.1

将 $\ln (729)$ 和 $\ln (9)$ 重新排序。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (9) \ln (729) + \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.6.2.2

将 $\ln (9) \ln (729)$ 和 $\ln (9) \ln (729)$ 相加。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.1.7

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

解题步骤 11.7.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{- 2 \ln (81)}$

解题步骤 11.7.3

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}$

解题步骤 11.8

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{\ln (729) + \ln (9) + \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}, - \frac{\ln (729) + \ln (9) - \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

小数形式：

$x = - 2.73205080 \dots, 0.73205080 \dots$

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